exercicio 1

equação cartesiana: (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1

equação parametrica:
x: a*cos(t)
y: b*sen(t)
t in [0, 2\pi]


3
a) y = x

* translação em x: 

(x', y') = (x+2, y)
x' = x+2 => x = x'-2
y' = y   => y = y'

a nova equação da reta: y = x-2 

* rotação de 90º graus

(x', y') = (x*cos(t) - y*sen(t), x*sen(t) + y*cos(t))

x' = x*cos(t) - y*sen(t)
y' = x*sen(t) + y*cos(t)

t = 90º
x' = x*cos(90º) - y*sen(90º) = - y*1 => y = -x'
y' = x*sen(90º) + y*cos(90º) = x*1 => x = y'

a nova equação será da reta: y = -x

* escala de 2 em y

x' = x => x = x'
y' = 2y => y = y'/2

y/2 = x => y = 2x

a nova equação da reta será : y = 2x

* escala de 2 em x

a nova equação da reta será: y = x/2



b) a equação paramétrica 
x = t
y = t

* translação de 2 em x
x' = x+2 => x = x'-2
y' = y

x'-2 = t => x' = t+2
y' = t

a nova equação paramétrica será 
x = t+2
y = t

* rotação de 90º

x' = x*cos(90º) - y*sen(90º) = - y*1 => y = -x' => -x' = t => x' = -t
y' = x*sen(90º) + y*cos(90º) = x*1 => x = y' => y' = t

a nova equação paramétrica será 
x = -t
y = t


* escala de 2 em y

x' = x  => x' = t
y' = 2y => y' = 2t

a nova equação paramétrica será 
x = t
y = 2t



4) 

* 
[x'   y'] = [x   y]  [  cos(t) sen(t) ] * [S_x  0  ]
                     [ -sen(t) cos(t) ]   [  0  S_y]

[  cos(t) sen(t) ] * [S_x  0  ]
[ -sen(t) cos(t) ]   [  0  S_y]

[  cos(90º) sen(90º) ] * [2  0]
[ -sen(90º) cos(90º) ]   [0  2]

[  0 1 ] * [2  0]
[ -1 0 ]   [0  2]

[  0 1 ] * [2  0] = [ 0  2]
[ -1 0 ]   [0  2]   [-2  0]


* 
[x'   y'] = [x   y]  [S_x  0  ] * [  cos(t) sen(t) ]
                     [  0  S_y]   [ -sen(t) cos(t) ]   

[S_x  0  ] * [  cos(t) sen(t) ]
[  0  S_y]   [ -sen(t) cos(t) ]   
                     
[2  0] * [  0 1 ] = [ 0 2]
[0  2]   [ -1 0 ]   [-2 0]
                     


5) 

* 
[x'   y'] = [x   y]  [  cos(t) sen(t) ] * [S_x  0  ]
                     [ -sen(t) cos(t) ]   [  0  S_y]

[  cos(t) sen(t) ] * [S_x  0  ]
[ -sen(t) cos(t) ]   [  0  S_y]

[  cos(90º) sen(90º) ] * [2  0]
[ -sen(90º) cos(90º) ]   [0  1]

[  0 1 ] * [2  0]
[ -1 0 ]   [0  1]

[  0 1 ] * [2  0] = [ 0  1]
[ -1 0 ]   [0  1]   [-2  0]


* 
[x'   y'] = [x   y]  [S_x  0  ] * [  cos(t) sen(t) ]
                     [  0  S_y]   [ -sen(t) cos(t) ]   

[S_x  0  ] * [  cos(t) sen(t) ]
[  0  S_y]   [ -sen(t) cos(t) ]   
                     
[2  0] * [  0 1 ] = [ 0 2]
[0  1]   [ -1 0 ]   [-1 0]
                     





6) 

* 
[x'   y'  1] = [x   y   1]  [  cos(t) sen(t)  0] * [  1   0  0]
                            [ -sen(t) cos(t)  0]   [  0   1  0]
                            [      0      0   1]   [T_x T_y  1]